【积分表常用公式】在数学学习和应用中，积分是一个非常重要的工具，尤其在微积分、物理、工程等领域有着广泛的应用。为了方便计算和查阅，人们总结了许多常见的积分公式，形成了“积分表”。以下是一些常用的积分公式及其简要说明，帮助读者快速掌握积分的基本方法。
一、基本积分公式
| 积分表达式 | 积分结果 | 说明 | ||
| ∫ dx | x + C | 常数函数的积分 | ||
| ∫ x^n dx | (x^(n+1))/(n+1) + C (n ≠ -1) | 幂函数积分公式 | ||
| ∫ e^x dx | e^x + C | 指数函数积分 | ||
| ∫ a^x dx | (a^x)/ln(a) + C (a > 0, a ≠ 1) | 底数为常数的指数函数积分 | ||
| ∫ 1/x dx | ln | x | + C | 对数函数积分 |
| ∫ sin(x) dx | -cos(x) + C | 正弦函数积分 | ||
| ∫ cos(x) dx | sin(x) + C | 余弦函数积分 | ||
| ∫ sec²(x) dx | tan(x) + C | 正切函数的导数积分 | ||
| ∫ csc²(x) dx | -cot(x) + C | 余切函数的导数积分 | ||
| ∫ sec(x)tan(x) dx | sec(x) + C | 正割函数的导数积分 | ||
| ∫ csc(x)cot(x) dx | -csc(x) + C | 余割函数的导数积分 |
二、三角函数积分公式
| 积分表达式 | 积分结果 | 说明 | ||
| ∫ sin(ax) dx | -cos(ax)/a + C | 正弦函数的线性变换积分 | ||
| ∫ cos(ax) dx | sin(ax)/a + C | 余弦函数的线性变换积分 | ||
| ∫ tan(x) dx | -ln | cos(x) | + C | 正切函数积分 |
| ∫ cot(x) dx | ln | sin(x) | + C | 余切函数积分 |
| ∫ sec(x) dx | ln | sec(x) + tan(x) | + C | 正割函数积分 |
| ∫ csc(x) dx | -ln | csc(x) + cot(x) | + C | 余割函数积分 |
三、反三角函数积分公式
| 积分表达式 | 积分结果 | 说明 |
| ∫ 1/(1 + x²) dx | arctan(x) + C | 反正切函数积分 |
| ∫ 1/√(1 - x²) dx | arcsin(x) + C | 反正弦函数积分 |
| ∫ 1/(x² + a²) dx | (1/a)arctan(x/a) + C | 反正切函数的推广形式 |
| ∫ 1/√(a² - x²) dx | arcsin(x/a) + C | 反正弦函数的推广形式 |
四、有理函数积分公式
| 积分表达式 | 积分结果 | 说明 | ||
| ∫ 1/(ax + b) dx | (1/a)ln | ax + b | + C | 线性分母积分 |
| ∫ x/(ax + b) dx | (x/a) - (b/a²)ln | ax + b | + C | 分式积分 |
| ∫ 1/(ax + b)^n dx | [1/(a(1 - n)(ax + b)^(n-1))] + C (n ≠ 1) | 幂次分母积分 | ||
| ∫ (ax + b)^n dx | [(ax + b)^(n+1)]/[a(n+1)] + C (n ≠ -1) | 多项式幂积分 |
五、特殊函数积分
| 积分表达式 | 积分结果 | 说明 |
| ∫ sinh(x) dx | cosh(x) + C | 双曲正弦函数积分 |
| ∫ cosh(x) dx | sinh(x) + C | 双曲余弦函数积分 |
| ∫ sech²(x) dx | tanh(x) + C | 双曲正切函数积分 |
| ∫ csch²(x) dx | -coth(x) + C | 双曲余切函数积分 |
总结
以上内容涵盖了常见函数的积分公式，适用于初学者或需要快速查阅积分规则的用户。虽然这些公式是基础中的基础，但在实际应用中却非常重要。建议在学习过程中结合练习题进行巩固，以提高对积分的理解和运用能力。
通过熟练掌握这些积分公式，可以大大提升解题效率，并为更复杂的积分问题打下坚实的基础。